モナパレット以外の場合でも同等のことをすれば署名できます。
登録したいアドレスの「・・・」の部分をクリックします。

「キーペア」をクリックします。ここから先は操作を誤ると暗号通貨が流出する可能性があるので実際の画面の説明をよく見て操作してください。

「メッセージに署名する」に「card.mona.jp」と入力し「署名する」をクリックすると下に文字列が出力されます。

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card.mona.jpのサイトに戻ります。まずサイトにTwitterアカウントでログインします。次に当サイトの「アカウント」→「認証済Monapartyアドレス」に移動します。
ここにアドレスと先ほどの操作で出力された文字列=署名を入力し登録します。以上で登録が終了です。

そのアドレスを持っているという証明になります。もし署名が漏れたとしてもそのアドレスを操作することは出来ませんがcard.mona.jpにログインされる可能性があるので人に教えないようにしましょう。